现在我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0 这样我们就说有理数集的测度是0 用上面这种方法定义的测度也叫外测度一个几何区域有了测度，我们就可以定义上面的函数的积分，这是推广的黎曼积分比如实数上的狄利克雷函数Dx=1如果x是有理数；第一步，我们利用Caratheodory条件这一条件指出，一个集合若为外测度为零的集合，则该集合既是可测集，且其测度同样为零这意味着，若一个集合能够被证明其外测度为零，那么它自然满足可数集为零测度集的条件因此，我们可以将证明的焦点放在外测度的性质上第二步，我们通过外测度的定义来进一步；一定不可测不可数点集就是不是可测集的集合，它定义不了测度或者说没有测度，不可数点集一定不可测，否则就有测度0是可测集了若一个集合不是有限集合，也不是可数集，则叫做不可数集，不可数集是无穷集合中的一种，一个无穷集合和整数集合之间要是不存在一个双射，它就是一个不可数集；说明其测度为零即可设A=a1，a2an，为可数点集 任给 m 0， 令 Umi = ai 1m2^i+1， ai + 1m2^i+1， 其为 ai的一个开邻域， i=1，2，则 Vm = Umi 对所有i求并的集合 则Vm是A的一个开覆盖 且 Vm lt= Um1 + Um2 +；数学如果证明了2，那直接用这个结论就可以很容易证明1，因为在1中，f在a，b上的不连续点最多只有有限个，根据测度的相关知识从单点集的测度为0及测度的可列可加性知有限点集的测度等于0，这有限个不连续点构成零测集，因此根据2可知f在a，b上可积至于2的证明就不这么。