现在我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0 这样我们就说有理数集的测度是0 用上面这种方法定义的测度也叫外测度一个几何区域有了测度，我们就可以定义上面的函数的积分，这是推广的黎曼积分比如实数上的狄利克雷函数Dx=1如果x是有理数；第一步，我们利用Caratheodory条件这一条件指出，一个集合若为外测度为零的集合，则该集合既是可测集，且其测度同样为零这意味着，若一个集合能够被证明其外测度为零，那么它自然满足可数集为零测度集的条件因此，我们可以将证明的焦点放在外测度的性质上第二步，我们通过外测度的定义来进一步；一定不可测不可数点集就是不是可测集的集合，它定义不了测度或者说没有测度，不可数点集一定不可测，否则就有测度0是可测集了若一个集合不是有限集合，也不是可数集，则叫做不可数集，不可数集是无穷集合中的一种，一个无穷集合和整数集合之间要是不存在一个双射，它就是一个不可数集；说明其测度为零即可设A=a1，a2an，为可数点集 任给 m 0， 令 Umi = ai 1m2^i+1， ai + 1m2^i+1， 其为 ai的一个开邻域， i=1，2，则 Vm = Umi 对所有i求并的集合 则Vm是A的一个开覆盖 且 Vm lt= Um1 + Um2 +；数学如果证明了2，那直接用这个结论就可以很容易证明1，因为在1中，f在a，b上的不连续点最多只有有限个，根据测度的相关知识从单点集的测度为0及测度的可列可加性知有限点集的测度等于0，这有限个不连续点构成零测集，因此根据2可知f在a，b上可积至于2的证明就不这么。
在零与一之间有理数和无理数都是无穷多个，但是按数学的角度来讲，把所有有理数摆在一起构成的长度几乎为零，但是把0，1之间的无理数摆在一起长度几乎为一，所以比值应该是无穷大了，哈哈，没事可以瞎想 这就是测度论里面的知识了，按书里面的的说，像有理数这样的点集叫着可数集，测度；更进一步，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四个也对，五个也对，依此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度注意，是可数无穷个！为什么呢？直接说任意无穷个不好么？干嘛只限定是可数无穷个？数学家是很谨慎的上面这个性质被称为可数；任取ε0，对点集的第n个点，用长度为ε2^n的区间去覆盖，那么这个点集可以被测度为2ε的集合覆盖。
区间的边界的外侧度等于0的说法是正确的外测度，是用开区间覆盖点集，所以，所有点集都有外测度同时，外测度要求，开区间去下限，而这个下限是不一定确定的，能确定的就是可测，而不确定的就是不可测边界值分析法确认输入输出的边界，然后取刚好等于大于小于边界的参数作为测试用例测试 他俩的；Lebesgue 测度需要可列可加你知道测度可以随便定义的因为所有的有理点集是可数的，且单个测度为0，所以所有有理点的测度为0区间 0，1 可测，所以余集 A 0，1减所有有理点集可测，且测度 mA= 10=1。
进一步地，黎曼函数在更大的区间0，1上的积分特性也值得一提根据勒贝格判据，一个函数若在其所有不连续点的集合测度为0，则该函数为黎曼可积黎曼函数的不连续点集为有理数集，虽然无限多，但因其可数性，其测度为零因此，根据勒贝格判据，黎曼函数在0，1上确实是黎曼可积的，而且实际上；单点集作为闭集且外测度为0，证明了它是可测的开集和闭集开球和闭球因其集性，直接可测基数势通过单点集的测度为0，利用可数可加性得出一般集合的测度拓扑和变换通过线性变换和开集的性质，保证可测集的类似集合也是可测的集合代数通过集合的并差补运算，结合测度的性质；证明康托尔集为勒贝格零测度的关键在于考察每一步剩下的区间长度随着迭代的进行，剩下的区间长度之和最终趋近于0这意味着康托尔集满足勒贝格零测度的定义然而，若在迭代中减小去除区间的长度，如使用13的分数替代，得到的康托尔集将不再是勒贝格零测度的这样的例子说明，集合是否可数与是否为。
Egoroff定理进一步指出，对于几乎处处有限的可测函数列，在给定的测度有限的集合E上，如果函数列不一致收敛，可以通过去掉一个相对较小的点集E\Z，使得剩余集合上函数列一致收敛于fx定理通过选取适当的ε序列和构造特定的集合Z，证明了这一结论以幂函数为例，在区间0，1上，定义函数列fnx=；你得先说是什么测度 不过多半是 Lebesgue 测度 首先，所有的0，1中的有理数是可数的，因此是 Borel 集，因此它的余集也是 Borel 集0，1的 Lebesgue 测度是1，其中有理数的测度是0因为它是可数的，所以其测度为 1；测度为零说明它是可测集，而根据勒贝格测度定义，可测集的外侧度就是等于它的测度。